Abstract (FR)

Les problèmes de complémentarité interviennent dans de nombreux domaines scientifiques : economie, mécanique des solides, mécanique des fluides. Ce n’est que récemment qu’ils ont commencé d’intéresser les chercheurs étudiant les écoulements et le transport en milieu poreux. Lesproblèmes de complémentarité sont un cas particulier des inéquations variationnelles. Dans cettethèse, on offre plusieurs contributions aux méthodes numériques pour résoudre les problèmes decomplémentarité. Dans la première partie de cette thèse, on étudie les problèmes de complémentarité linéaires 0 6 x ⊥ (Mx+q) > 0 où, x l’inconnue est dans Rn et où les données sont q, un vecteur de Rn, etM, une matrice d’ordre n. L’existence et l’unicité de ce problème est obtenue quand la matrice Mest une P-matrice. Une méthode très efficace pour résoudre les problèmes de complèmentarité estla méthode de Newton-min, une extension de la méthode de Newton aux problèmes non lisses.Dans cette thèse on montre d’abord, en construisant deux familles de contre-exemples, que laméthode de Newton-min ne converge pas pour la classe des P-matrices, sauf si n= 1 ou 2. Ensuiteon caractérise algorithmiquement la classe des P-matrices : c’est la classe des matrices qui sonttelles que quel que, soit le vecteur q, l’algorithme de Newton-min ne fait pas de cycle de deuxpoints. Enfin ces résultats de non-convergence nous ont conduit à construire une méthode de globalisation de l’algorithme de Newton-min dont nous avons démontré la convergence globale pourles P-matrices. Des résultats numériques montrent l’efficacité de cet algorithme et sa convergencepolynomiale pour les cas considérés. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous sommes intéressés à un exemple de problème de complémentarité non linéraire concernant les écoulements en milieu poreux. Il s’agit d’un écoulement liquide-gaz à deux composants eau-hydrogène que l’on rencontre dans le cadre de l’étude du stockage des déchets radioactifs en milieu géologique. Nous présentons un modèle mathématique utilisant des conditions de complémentarité non linéaires décrivant ces écoulements. D’une part, nous proposons une méthode de résolution et un solveur pour ce problème. D’autre part, nous présentons les résultats numériques que nous avons obtenus suite à la simulation des cas-tests proposés par l’ANDRA (Agence Nationale pour la gestion des Déchets Radioactifs) et le GNR MoMaS. En particulier, ces résultats montrent l’efficacité de l’algorithme proposé et sa convergence quadratique pour ces cas-tests.