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Solving complementarity problems : Application to a diphasic flow in porous media

dc.contributor.advisorGilbert, Jean-Charles
dc.contributor.advisorJaffré, Jérôme
hal.structure.identifier
dc.contributor.authorBen Gharbia, Ibtihel
HAL ID: 741218
ORCID: 0000-0002-9002-1985
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dc.date.accessioned2013-02-19T18:31:28Z
dc.date.available2013-02-19T18:31:28Z
dc.date.issued2012-12
dc.identifier.urihttps://basepub.dauphine.fr/handle/123456789/11021
dc.description.abstractfrLes problèmes de complémentarité interviennent dans de nombreux domaines scientifiques : economie, mécanique des solides, mécanique des fluides. Ce n’est que récemment qu’ils ont commencé d’intéresser les chercheurs étudiant les écoulements et le transport en milieu poreux. Lesproblèmes de complémentarité sont un cas particulier des inéquations variationnelles. Dans cettethèse, on offre plusieurs contributions aux méthodes numériques pour résoudre les problèmes decomplémentarité. Dans la première partie de cette thèse, on étudie les problèmes de complémentarité linéaires 0 6 x ⊥ (Mx+q) > 0 où, x l’inconnue est dans Rn et où les données sont q, un vecteur de Rn, etM, une matrice d’ordre n. L’existence et l’unicité de ce problème est obtenue quand la matrice Mest une P-matrice. Une méthode très efficace pour résoudre les problèmes de complèmentarité estla méthode de Newton-min, une extension de la méthode de Newton aux problèmes non lisses.Dans cette thèse on montre d’abord, en construisant deux familles de contre-exemples, que laméthode de Newton-min ne converge pas pour la classe des P-matrices, sauf si n= 1 ou 2. Ensuiteon caractérise algorithmiquement la classe des P-matrices : c’est la classe des matrices qui sonttelles que quel que, soit le vecteur q, l’algorithme de Newton-min ne fait pas de cycle de deuxpoints. Enfin ces résultats de non-convergence nous ont conduit à construire une méthode de globalisation de l’algorithme de Newton-min dont nous avons démontré la convergence globale pourles P-matrices. Des résultats numériques montrent l’efficacité de cet algorithme et sa convergencepolynomiale pour les cas considérés. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous sommes intéressés à un exemple de problème de complémentarité non linéraire concernant les écoulements en milieu poreux. Il s’agit d’un écoulement liquide-gaz à deux composants eau-hydrogène que l’on rencontre dans le cadre de l’étude du stockage des déchets radioactifs en milieu géologique. Nous présentons un modèle mathématique utilisant des conditions de complémentarité non linéaires décrivant ces écoulements. D’une part, nous proposons une méthode de résolution et un solveur pour ce problème. D’autre part, nous présentons les résultats numériques que nous avons obtenus suite à la simulation des cas-tests proposés par l’ANDRA (Agence Nationale pour la gestion des Déchets Radioactifs) et le GNR MoMaS. En particulier, ces résultats montrent l’efficacité de l’algorithme proposé et sa convergence quadratique pour ces cas-tests.en
dc.language.isofren
dc.subjectMilieu poreuxen
dc.subjectDissolutionen
dc.subjectConvergence quadratiqueen
dc.subjectAnalyse non lisseen
dc.subjectConvergence globaleen
dc.subjectAlgorithme de Newton-minen
dc.subject.ddc515en
dc.titleRésolution de problèmes de complémentarité : Application à un écoulement diphasique dans un milieu poreuxfr
dc.titleSolving complementarity problems : Application to a diphasic flow in porous mediaen
dc.typeThèseen
dc.contributor.editoruniversityUniversité Paris Dauphine
dc.contributor.editoruniversityotherINRIA - Rocquencourt
dc.description.abstractenThis manuscript deals with numerical methods for linear and nonlinear complementarity problems,and, more specifically, with solving gas phase appearance and disappearance modeled as a complementarity problem. In the first part of this manuscript, we focused on the plain Newton-min method to solve the linear complementarity problem (LCP for short) 0 6 x ⊥ (Mx+q) > 0 that can be viewed as a nonsmooth Newton algorithm without globalization technique to solve the system of piecewise linear equations min(x,Mx+q) = 0, which is equivalent to the LCP. When M is an M-matrix of order n, the algorithm was known to converge in at most n iterations. We show that this resultno longer holds when M is a P-matrix of order > 3. On the one hand, we offer counter-examplesshowing that the algorithm may cycle in those cases. P-matrices are interesting since they are thoseensuring the existence and uniqueness of the solution to the LCP for an arbitrary q. Incidentally,convergence occurs for a P-matrix of order 1 or 2. On the other hand, we provide a new algorithmiccharacterization of P-matricity : we show that a nondegenerate square real matrix M is a P-matrixif and only if, whatever is the real vector q, the Newton-min algorithm does not cycle between twopoints. In order to force the convergence of the Newton-min algorithm with P-matrices, we havederived a new method, which is robust, easy to describe, and simple to implement. It is globallyconvergent and the numerical results reported in this manuscript show that it outperforms a methodof Harker and Pang. In the second part of this manuscript, we consider the modeling of migration of hydrogen produced by the corrosion of the nuclear waste packages in an underground storage including the dissolution of hydrogen. It results in a set of nonlinear partial differential equations with nonlinear complementarity constraints. We show how to apply a robust and efficient solution strategy, the Newton-min method considered for LCP in the first part, to this geoscience problem and investigates its applicability and efficiency on this difficult problem. The practical interest of this solution technique is corroborated by numerical experiments from the Couplex Gas benchmark proposed by Andra and GNR MoMas. In particular, numerical results show that the Newton-min method is quadratically convergent for these problems.en
dc.identifier.citationpages204en
dc.identifier.theseid2012PA090045en
dc.subject.ddclabelAnalyseen
dc.rights.intranetnonen
hal.author.functionaut


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