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Condition de non-résonance pour l’oscillateur harmonique quantique perturbé

Imekraz, Rafik (2012), Condition de non-résonance pour l’oscillateur harmonique quantique perturbé, Dynamics of Partial Differential Equations, 9, 3, p. 205-238. http://dx.doi.org/10.4310/DPDE.2012.v9.n3.a2

View/Open
DPDE-2012-0009-0003-00023259.pdf (331.8Kb)
Type
Article accepté pour publication ou publié
Date
2012
Journal name
Dynamics of Partial Differential Equations
Volume
9
Number
3
Publisher
International Press
Pages
205-238
Publication identifier
http://dx.doi.org/10.4310/DPDE.2012.v9.n3.a2
Metadata
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Author(s)
Imekraz, Rafik
Abstract (FR)
Sur Rd, nous considérons l’opérateur différentiel − + ||x||2 + R(x) + M o`u R appartient `a la classe de Schwartz et M est un opérateur borné de L2(R). Sous une hypothèse de localisation du spectre de − + ||x||2 + R(x), automatiquement satisfaite si d = 1, nous prouvons l’existence d’opérateurs M arbitrairement petits, i.e. ||M|| 1, tels que pour tout r 3 et pour toute donnée initiale d’ordre " dans un espace de Sobolev à grande régularité, l’équation de Schrödinger non-linéaire admet une solution bornée par 2" sur un intervalle temporel de longueur "−r. Le cas R = 0 a été démontré par Grébert-Imekraz-Paturel. Ici, nous n’avons pas besoin de connaître les valeurs exactes des valeurs propres et des modes propres de − + ||x||2 + R(x). Le rôle de M est de rendre non-résonant le spectre de − + ||x||2 + R(x) + M. Nous donnons aussi une réponse partielle dans le cas M = 0 : il existe des potentiels R tels que le spectre de −@2x + x2 + R(x) est non-résonant. Pour cela, nous invoquons des résultats de Chelkak-Kargaev-Korotyaev concernant le problème inverse spectral de l’oscillateur harmonique et construisons une base duale des carrées des fonctions de Hermite.
Abstract (EN)
On Rd, we consider the differential operator − +||x||2+R(x)+M. Here R is in the Schwartz class and M is a bounded operator of L2(R). Under a localization hypothesis on the spectrum of − + ||x||2 + R(x), which is automatically satisfied if d = 1, one proves that there are arbitrarily small operator M, i.e. ||M|| 1, such that for all r 3, for small Cauchy data of order " in high Sobolev norms, the nonlinear Schr¨odinger equation admits a solution which is bounded by 2" on a time existence interval of length "−r. The case R = 0 has been proved by Grébert-Imekraz-Paturel. Here we do not need any explicit spectral analysis (eigenvalues and eigenfunctions) of − + ||x||2+R(x). The role of M is making the spectrum of − +||x||2+R(x)+M nonresonant. We also give a partial answer in the case M = 0 : there are some potentials R such that the spectrum of −@2x +x2 +R(x) is nonresonant. For this, we use some Chelkak-Kargaev-Korotyaev’s results about the inverse spectral problem of harmonic oscillator and construct explicit dual basis of the squared Hermite functions.
Subjects / Keywords
differential operator; spectrum; nonlinear Schrödinger equation

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