
Théorie KAM faible et instabilité pour familles d'hamiltoniens
Weak KAM theory and instability for families of Hamiltonians
Mandorino, Vito (2013), Théorie KAM faible et instabilité pour familles d'hamiltoniens, doctoral thesis prepared under the supervision of Bernard, Patrick, Université Paris Dauphine
Under the direction of
Bernard, PatrickAbstract (FR)
Dans cette thèse nous étudions la dynamique engendrée par une famille de flots Hamiltoniens. Un tel système dynamique à plusieurs générateurs est aussi appelé ‘polysystème’. Motivés par des questions liées au phénomène de la diffusion d’Arnold, notre objectif est de construire des trajectoires du polysystème qui relient deux régions lointaines de l’espace des phases. La thèse est divisée en trois parties.Dans la première partie, nous considérons le polysystème engendré par les flots discrétisés d’une famille d’Hamiltoniens Tonelli. En utilisant une approche variationnelle issue de la théorie KAM faible, nous donnons des conditions suffisantes pour l’existence des trajectoires souhaitées.Dans la deuxième partie, nous traitons le cas d’un polysystème engendré par un couple de flots Hamiltoniens à temps continu, dont l’étude rentre dans le cadre de la théorie géométrique du contrôle. Dans ce contexte, nous montrons dans certains cas la transitivité d’un polysystème générique, à l’aide du théorème de transversalité de Thom.La dernière partie de la thèse est dédiée à obtenir une nouvelle version du théorème de transversalité de Thom s’exprimant en termes d’ensembles rectifiables de codimension positive. Dans cette partie il n’est pas question de polysystèmes, ni d’Hamiltoniens. Néanmoins, les résultats obtenus ici sont utilisés dans la deuxième partie de la thèseAbstract (EN)
In this thesis we study the dynamics generated by a family of Hamiltonian flows. Such a dynamical system with several generators is also called ‘polysystem’.Motivated by some questions related to the phenomenon of Arnold diffusion, our aim is to construct trajectories of the polysystem which connect two far-apart regions of the phase space.The thesis is divided into three parts.In the first part, we consider the polysystem generated by the time-onemaps of a family of Tonelli Hamiltonians. By using a variational approach falling within the framework of weak KAM theory, we give sufficient conditions for the existence of the desired trajectories.In the second part, we address the case of a polysystem generated by twocontinuous-time Hamiltonian flows. This problem fits into the framework of geometriccontrol theory. In this context, we show in some cases the transitivity of a generic polysystem, by means of Thom’s transversality theorem.The third and last part of the thesis is devoted to the proof of a newversion of Thom’s transversality theorem, formulated in terms of rectifiable sets of positive codimension. Neither polysystems nor Hamiltonians are explicitly involved in this part. However, the results obtained here are used in the second part of the thesis.Subjects / Keywords
Dynamique hamiltonienne et lagrangienne; Théorie KAM faible; Diffusion d’Arnold; Polysystème; Semi-groupe de Lax-Oleinik; Ensembles d’Aubry et Mañé; Propriétés génériques; Théorie géométrique du contrôle; Ensemble atteignable; Théorème de transversalité de Thom; Ensemble rectifiable; Hamiltonian and Lagrangian dynamics; Weak KAM theory; Arnold diffusion; Polysystem; Lax-Oleinik semigroup; Aubry and Mañé sets; Generic properties; Geometric control theory; Reachable set; Thom’s transversality theorem; Rectifiable setRelated items
Showing items related by title and author.
-
Mandorino, Vito (2012) Article accepté pour publication ou publié
-
Mandorino, Vito (2013) Article accepté pour publication ou publié
-
Cardaliaguet, Pierre (2013) Article accepté pour publication ou publié
-
Bernard, Patrick (2006-06-23) Chapitre d'ouvrage
-
Cardaliaguet, Pierre; Masoero, Marco (2020) Article accepté pour publication ou publié