Résumé (FR)

Ce travail est consacré à l'étude du comportement en temps grand d'équations aux dérivées partielles de type parabolique. Plus particulièrement, on s'intéresse à des équations non linéaires de type diffusion, qui interviennent dans de nombreux modèles issus de la physique (par exemple l'équation des milieux poreux) ou de la biologie (par exemple le modèle de Patlak-Keller-Segel pour la chimiotaxie). Dans les chapitres I et II on s'intéresse à une amélioration de l'inégalité de Sobolev à travers son inégalité duale, l'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, dans le cadre du laplacien ordinaire et du laplacien fractionnaire, respectivement. Le chapitre III est un passage en revue de l'inégalité d'Onofri, qui joue le rôle de l'inégalité de Sobolev pour la dimension deux. De nouveaux résultats sont apportés, dont certains sont étendus aux variétés riemanniennes au chapitre IV. Enfin, le chapitre V traite des états stationnaires de deux modèles paraboliques, utilisés pour l'étude du déplacement de foules et la modélisation en biologie (chimiotaxie).