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Stochastic Invariance and Stochastic Volterra Equations

Invariance stochastique et équations stochastiques de Volterra

Abi Jaber, Eduardo (2018), Stochastic Invariance and Stochastic Volterra Equations, doctoral thesis prepared under the supervision of Bouchard-Denize, Bruno; Fermanian, Jean-David, Université Paris Dauphine

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Type
Thèse
Date
2018-10-18
Metadata
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Author(s)
Abi Jaber, Eduardo
Under the direction of
Bouchard-Denize, Bruno; Fermanian, Jean-David
Abstract (FR)
La présente thèse traite de la théorie des équations stochastiques en dimension finie. Dans la première partie, nous dérivons des conditions géométriques nécessaires et suffisantes sur les coefficients d’une équation différentielle stochastique pour l’existence d’une solution contrainte à rester dans un domaine fermé, sous de faibles conditions de régularité sur les coefficients.Dans la seconde partie, nous abordons des problèmes d’existence et d’unicité d’équations de Volterra stochastiques de type convolutif. Ces équations sont en général non-Markoviennes. Nous établissons leur correspondance avec des équations en dimension infinie ce qui nous permet de les approximer par des équations différentielles stochastiques Markoviennes en dimension finie.Enfin, nous illustrons nos résultats par une application en finance mathématique, à savoir la modélisation de la volatilité rugueuse. En particulier, nous proposons un modèle à volatilité stochastique assurant un bon compromis entre flexibilité et tractabilité.
Abstract (EN)
The present thesis deals with the theory of finite dimensional stochastic equations.In the first part, we derive necessary and sufficient geometric conditions on the coefficients of a stochastic differential equation for the existence of a constrained solution, under weak regularity on the coefficients. In the second part, we tackle existence and uniqueness problems of stochastic Volterra equations of convolution type. These equations are in general non-Markovian. We establish their correspondence with infinite dimensional equations which allows us to approximate them by finite dimensional stochastic differential equations of Markovian type. Finally, we illustrate our findings with an application to mathematical finance, namely rough volatility modeling. We design a stochastic volatility model with an appealing trade-off between flexibility and tractability.
Subjects / Keywords
Processus affines; Invariance stochastique; Equations de convolutions stochastiques; Volatilité rugueuse; Affine processes; Stochastic invariance; Stochastic convolution equations; Rough volatility