Abstract (FR)

Cette thèse porte sur l'utilisation du BLASSO, un problème d'optimisation convexe en dimension infinie généralisant le LASSO aux mesures, pour la super-résolution de sources ponctuelles. Nous montrons d'abord que la stabilité du support des solutions, pour N sources se regroupant, est contrôlée par un objet appelé pré-certificat aux 2N-1 dérivées nulles. Quand ce pré-certificat est non dégénéré, dans un régime de petit bruit dont la taille est contrôlée par la distance minimale séparant les sources, le BLASSO reconstruit exactement le support de la mesure initiale. Nous proposons ensuite l'algorithme Sliding Frank-Wolfe, une variante de l'algorithme de Frank-Wolfe avec déplacement continu des amplitudes et des positions, qui résout le BLASSO. Sous de faibles hypothèses, cet algorithme converge en un nombre fini d'itérations. Nous utilisons cet algorithme pour un problème 3D de microscopie par fluorescence en comparant trois modèles construits à partir des techniques PALM/STORM.