Abstract (FR)

Cette thèse se décompose en trois grandes parties, qui traitent des EDP quasi linéaires paraboliques sur une jonction, des diffusions stochastiques sur une jonction, et du contrôle optimal également sur une jonction, avec contrôle au point de jonction. Nous commençons au premier Chapitre par introduire une nouvelle classe d'EDP non dégénérée et quasi linéaire, satisfaisant une condition de Neumann (ou de Kirchoff) non linéaire et non dynamique au point de jonction. Nous prouvons l'existence d'une solution classique, ainsi que son unicité. L'une des motivations portant sur l'étude de ce type d'EDP, est de faire le lien avec la théorie du contrôle optimale sur les jonctions, et de caractériser la fonction valeur de ce type de problème à l'aide des équations d'Hamilton Jacobi Bellman. Ainsi, au Chapitre suivant, nous formulons une preuve donnant l'existence d'une diffusion sur une jonction. Ce processus admet un temps local, dont l'existence et la variation quadratique dépendent essentiellement de l'hypothèse d'ellipticité des termes du second ordre au point de jonction. Nous formulerons une formule d'Itô pour ce processus. Ainsi, grâce aux résultats de ces deux Chapitres, nous formulerons dont le dernier Chapitre un problème de contrôle stochastique sur les jonctions, avec contrôle au point de jonction. L'espace des contrôles est celui des mesures de Probabilités résolvant un problème martingale. Nous prouvons la compacité de l'espace des contrôles admissibles, ainsi que le principe de la programmation dynamique.