Abstract (FR)

Cette thèse contribue à l’étude en temps minimal des systèmes de contrôle affines. Les systèmes dépendant du contrôle de manière affine sont naturellement présents en physique et apparaissent dès qu’on s’intéresse aux systèmes mé- caniques. Ils sont, pour autant, bien plus généraux. Dans ce manuscrit on traite les singularités de tels sys- tèmes, en minimisant le temps fi- nal, celui où l’objectif est atteint. Une étude précise de leur flot extré- mal est faite, d’abord pour les sys- tèmes mécaniques, puis en général. Cela nous permet d’obtenir la régu- larité du flot, qui s’avère être lisse sur une stratification au voisinage du lieu singulier. Nous appliquons ensuite les résultats au problème du transfert d’orbite d’un engin spa- tial, et contrôlons le nombre sin- gularités présentes au cours d’un transfert. Nous changeons ensuite de point de vue pour s’intéresser aux conditions d’optimalités des ex- trémales étudiées, et donnons un critère d’optimalité locale, calculable via un simple test numérique. Il est enfin question d’étudier ces singular- ités du point de vue de l’intégrabilité des systèmes Hamiltoniens : nous prouvons ainsi que le problème du transfert d’orbite à deux corps en temps minimal n’est pas intégrable au sens de Liouville.