Abstract (FR)

Cette thèse a pour objet la construction de schémas numériques localement conservatif et préservant la structure pour des flots de gradient Wasserstein, c’est à dire des courbes de descente maximale dans l’espace de Wasserstein. Les discrétisations en temps reposent sur des formulations variationnelles imitant au niveau discret ce comportement de courbes de descente maximale. Ces discrétisation font intervenir le calcul de la distance de Wasserstein, un exemple de problèmes de transport optimal. Les discrétisations en espaces sont basées sur des approximations volumes finis avec reconstructions à deux points des flux, également appelés schémas TPFA. Ces méthodes sont bien connues et particulièrement adaptées pour discrétiser des équations conservatives. Afin de conserver les structures variationnelles au niveau discret, notre approche est de d’abord discrétiser puis optimiser. Dans une première partie nous présentons des discrétisations TPFA pour la distance de Wasserstein, basées sur la formulation dynamique de Benamou-Brenier du transport optimal. Nous montrons des problèmes de stabilité liés à ces discrétisations et proposons une méthode permettant de les surmonter. Nous dérivons des estimations quantitatives de convergence pour ce model discret. Afin de résoudre le problème d'optimisation discret, nous introduisons une stratégie de point intérieur. Ensuite nous proposons des schémas d’ordre un puis deux pour des flots de gradients Wasserstein. Afin de réduire la complexité numérique des problèmes étudiés nous utilisons une linéarisation implicite de la distance de Wasserstein. En exploitant la monotonie de la reconstruction upwind, nous proposons un schéma d'ordre un que l'on peut résoudre efficacement avec une méthode de Newton et nous montrons sa convergence vers des solutions faibles de l'équation de Fokker-Planck. Pour augmenter l’ordre de convergence en espace, nous utilisons une reconstruction centrée qui nécessite une technique d’optimisation différente. Nous utilisons à nouveau la stratégie du point intérieur pour cela. Finalement, pour monter en ordre en temps, nous proposons une version modifiée de la discrétisation variationnelle BDF2 pour laquelle nous prouvons la convergence vers des flots de gradient Wasserstein. À l'aide de ces nouvelles discrétisations, nous construisons un schéma d'ordre deux en espace et en temps. Tous les schémas proposés sont accompagnés de nombreux résultats numériques.