Problèmes variationnels pour l'interpolation dans l’espace de Wasserstein
Variational problems for interpolation in the Wasserstein space
Eichinger, Katharina (2022), Problèmes variationnels pour l'interpolation dans l’espace de Wasserstein, doctoral thesis prepared under the supervision of Carlier, Guillaume, Université Paris sciences et lettres
Author(s)
Eichinger, KatharinaUnder the direction of
Carlier, GuillaumeAbstract (FR)
Cette thèse étudie des problèmes variationnels comprenant plusieurs fonctionnelles de transport optimal. Un exemple populaire est le barycentre Wasserstein qui peut être vu en tant que moyenne dans l'espace de Wasserstein d'ordre 2. Depuis son introduction en 2011 de Agueh et Carlier, il est devenu très populaire en statistiques, machine learning et traitement des images. Bien que la consistance du barycentre Wasserstein soit désormais bien connue, une étude plus précise des taux de convergences nécessite encore une analyse supplémentaire. Nous faisons un pas dans cette direction en montrant une théorème centrale limite pour une version régularisée du barycentre Wasserstein qui a été introduite par Bigot, Cazelles et Papadakis en 2019. Même si le barycentre Wasserstein fournit déjà un bon estimateur statistique, ce n'est pas toujours un estimateur robuste car son breakdown point est bas. Cela nous a motivé d'étudier la médiane Wasserstein, la solution du problème de minimisation des sommes des distances de Wasserstein d'ordre 1. En effet, le breakdown point de la médiane Wasserstein s'avère être plus grand. Cependant, des propriétés de régularité de cet estimateur sont plus subtiles. Néanmoins, nous fournissons une caractérisation détaillée et des estimations d'intégrabilité dans le cas où les mesures sont supportées sur la droite réelle. Dans le cadre général des espaces métriques, des formulations duales et multi marginales équivalentes sont présentées. Nous donnons aussi une caractérisation d'EDP des médianes Wasserstein sur des espaces euclidiens. Motivé par un contexte différent, pourtant donnant une classe similaire des problèmes d'optimisation, est le problème d'emplacement de stationnement optimal. Ceci consiste de trouver une mesure optimale sous des contraintes supplémentaires, comme l'emplacement ou une contrainte de capacité, entre deux mesures, prenant en compte des différents types de coûts de transport. Dans ce cadre, nous démontrons des propriétés de régularité pour plusieurs classes du coût de transport. Finalement, nous fournissons un algorithme numérique afin de simuler des distributions de stationnement optimal en introduisant un terme de régularisation entropique et en déduisant une variante du célèbre algorithme du Sinkhorn.Abstract (EN)
This thesis studies variational problems involving several optimal transport functionals. A popular example is the Wasserstein barycenter, which can be seen as a mean in the Wasserstein space of order 2. Since its introduction in 2011 by Agueh and Carlier, it has gained a lot of popularity in fields like statistics, machine learning and image processing. While consistency of the Wasserstein barycenter is by now well known, a deeper study of rates of convergence still requires further research. We give a step in this direction by proving a central limit theorem for a regularized version of the Wasserstein barycenter, which has been introduced by Bigot, Cazelles and Papadakis in 2019. While the Wasserstein barycenter already provides a good statistical estimator, it is not always a very robust estimator, as it has a low breakdown point. This motivates the study of the Wasserstein median, the solution to minimizing a sum of Wasserstein distances of order 1. Indeed, the breakdown point of the Wasserstein median turns out to be higher. However, regularity properties of this estimator are more subtle. Nevertheless, we provide a detailed characterization and integrability estimates in the case where the measures are supported on the real line. In the general setting of metric spaces, equivalent dual and multimarginal formulations are given. We also introduce a PDE characterization for Wasserstein medians on Euclidean spaces.Motivated by a different context, yet yielding a similar class of optimization problems, is the optimal parking location problem. It consists of finding an optimal measure under additional constraints, such as a location or a capacity constraint, between two distributions, taking into account different kind of transportation costs. In this case, we prove regularity properties for several classes of transport costs. Finally, we provide a numerical algorithm to simulate optimal parking distributions by introducing an entropic regularization term and deducing a variant of the celebrated Sinkhorn algorithm.Subjects / Keywords
Transport optimal; Équation de Monge-Ampère; Moyenne de Fréchet; Médiane de Fréchet; Régularisation entropique; Optimal transport; Monge-Ampère equation; Fréchet mean; Fréchet median; Entropic regularizationRelated items
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