Abstract (FR)

Cette thèse porte sur les comportements global et local des β-ensembles lorsque leur dimension tend vers l’infini, d’abord à β > 0 fixé puis dans la limite haute température, lorsque β tend vers 0. Dans une première partie, nous étudions les ensembles β-Hermite, β-Laguerre et β-Jacobi lorsque β > 0. Le chapitre 1 introduit des représentations matricielles de ces ensembles et explique la convergence de leurs mesures spectrales vers des mesures d’équilibre. Les chapitres 2 et 3 présentent des classes d’universalité pour les comportements locaux des β-ensembles lorsque leur dimension tend vers l’infini, définies par les processus ponctuels des valeurs propres de certains opérateurs stochastiques. Dans une seconde partie, les chapitres 4, 5 et 6 s’intéressent au comportement des valeurs propres de ces opérateurs stochastiques dans la limite haute température. Le chapitre 5 présente les résultats précédents de Laure Dumaz et Cyril Labbé sur l’opérateur stochastique d’Airy. Le Chapitre 6 contient notre contribution de recherche, avec l’étude des plus petites valeurs propres l’opérateur stochastique de Bessel dans la limite haute température.