Abstract (FR)

Cette thèse est consacrée aux équations cinétiques de Fokker-Planck, à la stabilité des inégalités fonctionnelles et aux formes de Dirichlet non linéaires. Des taux de convergence vers l'équilibre sont estimés via un cadre analytique fonctionnel basé sur les normes faibles des solutions. L'équation de Vlasov-Fokker-Planck, avec variable de position confinée dans un tore, est analysée comme modèle de référence. La même stratégie est ensuite étendue à une large classe de modèles cinétiques. Nous considérons également des inégalités de Gagliardo--Nirenberg sur la sphère qui interpolent entre les inégalités de Poincaré et les inégalités de Sobolev. Nous prouvons des résultats constructifs de stabilité, dans la norme la plus forte possible, avec des exposants optimaux. Le terme de stabilité dégénère sur un sous-espace de dimension finie, ce qui nécessite des précautions supplémentaires. Notre technique combine des développements de Taylor, l'analyse harmonique et des méthodes paraboliques. Nous prouvons rigoureusement la convergence de la famille de Gagliardo-Nirenberg sur la sphère vers les inégalités de Beckner gaussiennes dans la limite de grandes dimensions. Ensuite, nous donnons des résultats constructifs de stabilité, en utilisant des diffusions non linéaires sur l'espace gaussien. Enfin, nous traitons l'inégalité de Sobolev logarithmique gaussienne comme cas limite. Nous trouvons des estimations explicites de stabilité pour des densités log-concaves ou à support compact par un argument de log-concavité déduit du flot d'Ornstein--Uhlenbeck et de la méthode du carré du champ. Nous contribuons à la théorie des formes de Dirichlet non-linéaires en étendant la propriété de contraction normale. La preuve adopte une nouvelle stratégie, basée sur l'approximation des fonctions Lipschitz réelles par des compositions répétées de fonctions linéaires par morceaux simples.