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Z 2-equivariant Ljusternik-Schnirelman theory for non-even functionals

Ekeland, Ivar; Ghoussoub, Nassif (1998), Z 2-equivariant Ljusternik-Schnirelman theory for non-even functionals, Annales de l'Institut Henri Poincaré. Analyse non linéaire, 15, 3, p. 341-370

Type
Article accepté pour publication ou publié
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http://www.numdam.org/item?id=AIHPC_1998__15_3_341_0
Date
1998
Nom de la revue
Annales de l'Institut Henri Poincaré. Analyse non linéaire
Volume
15
Numéro
3
Éditeur
Elsevier
Pages
341-370
Métadonnées
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Auteur(s)
Ekeland, Ivar
Ghoussoub, Nassif
Résumé (FR)
Nous construisons une théorie de Ljusternik-Schnirelman pour des fonctionnelles non symétriques. Plus précisément, nous montrons que si l'on applique une procédure de minimax Image 2-équivariante à une fonctionnelle non paire phi, l'on obtient d'une part les points critiques habituels, définis par phi′(x) = 0, et d'autre part des points d'un type nouveau, vérifiant, phi(x) = phi(−x) et phi′(x) = λphi′(−x) pour certain λ > 0. Nous les baptisons « Image 2-résonants å, et nous appellerons « point critiques virtuels å les points qui sont, soit critiques au sens habituel, soit Image 2-résonants. Nous étendons alors la théorie classique de Ljusternik-Schnirelman pour les points critiques de fonctionnelles paires à la recherche des points critiques virtuels de fonctionnelles impaires. A titre d'application, nous obtenons un résultat de bifurcation pour une classe d'équations semi-linéaires elliptiques avec un second membre.
Résumé (EN)
We develop an equivariant Ljusternik-Schnirelman theory for non-even functionals. We show that if one applies a Image 2-equivariant min-max procedure to a non-symmetric functional phi, then one gets either the usual critical points, defined by phi′(x) = 0 or an interesting new class of points x, defined by phi (x) = phi(−x) and phi′(x) = λphi′(−x) for some λ > 0. We call them “Image 2-resonant points”; by a “virtual critical point” we understand a point which is either critical or Image 2-resonant. We extend the classical existence and multiplicity results of Ljusternik-Schnirelman theory for critical points of even functionals to virtual critical points of non-even functionals. As an application we prove a bifurcation-type result for a class of non-homogenous semi-linear elliptic boundary value problems.
Mots-clés
non-even functionals; Ljusternik-Schnirelman theory