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Finite-differences discretizations of the Mumford-Shah functional

Chambolle, Antonin (1999), Finite-differences discretizations of the Mumford-Shah functional, Modélisation mathématique et analyse numérique, 33, 3, p. 261-288. http://dx.doi.org/10.1051/m2an:1999115

Type
Article accepté pour publication ou publié
External document link
http://www.numdam.org/item?id=M2AN_1999__33_2_261_0
Date
1999
Journal name
Modélisation mathématique et analyse numérique
Volume
33
Number
3
Publisher
EDP Sciences
Pages
261-288
Publication identifier
http://dx.doi.org/10.1051/m2an:1999115
Metadata
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Author(s)
Chambolle, Antonin cc
Abstract (FR)
Une conjecture récente de De Giorgi, sur l'approximation de la fonctionnelle de Mumford et Shah par des fonctionnelles non locales basées sur des différences finies, a été démontrée il y a un peu plus de deux ans par Gobbino [21]. Nous introduisons dans ce travail une version discrétisée de l'approximation de De Giorgi, que l'on peut voir comme une généralisation de l'énergie de “membrane faible” introduite par Blake et Zisserman pour la segmentation d'images. Une adaptation élémentaire des démonstrations de Gobbino permet de calculer la Γ-limite de cette approximation discrète, lorsque le pas de discrétisation tend vers zéro ; ce calcul généralise un résultat précédent de l'auteur sur l'énergie de “membrane faible” [10]. On déduit ainsi une manière de construire systématiquement des fonctionnelles de segmentation d'images “moins anisotropes” que l'énergie originale de Blake et Zisserman, et l'amélioration obtenue est illustrée par des expériences numériques.
Abstract (EN)
About two years ago, Gobbino [21] gave a proof of a De Giorgi's conjecture on the approximation of the Mumford-Shah energy by means of finite-differences based non-local functionals. In this work, we introduce a discretized version of De Giorgi's approximation, that may be seen as a generalization of Blake and Zisserman's “weak membrane” energy (first introduced in the image segmentation framework). A simple adaptation of Gobbino's results allows us to compute the Γ-limit of this discrete functional as the discretization step goes to zero; this generalizes a previous work by the author on the “weak membrane” model [10]. We deduce how to design in a systematic way discrete image segmentation functionals with “less anisotropy” than Blake and Zisserman's original energy, and we show in some numerical experiments how it improves the method.
Subjects / Keywords
Free discontinuity problems; Γ-convergence; special bounded variation (SBV) functions; finite differences; image processing

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