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Kinetic equations with Maxwell boundary conditions

Mischler, Stéphane (2010), Kinetic equations with Maxwell boundary conditions, Annales scientifiques de l'Ecole normale supérieure, 43, 5, p. 719-760

Type
Article accepté pour publication ou publié
Date
2010
Journal name
Annales scientifiques de l'Ecole normale supérieure
Volume
43
Number
5
Publisher
Gauthier-Villars
Pages
719-760
Metadata
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Author(s)
Mischler, Stéphane
Abstract (FR)
Nous montrons la stabilité des solutions renormalisées au sens de DiPerna-Lions pourdes équations cinétiques avec conditions initiale et aux limites. La condition aux limites (qui peut être non linéaire) est partiellement diffuse et est réalisée (c'est-à-dire qu’elle n'est pas relaxée).Les techniques que nous introduisons sont illustrées sur l’équation de Fokker-Planck-Boltzmannet le système de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck ainsi que pour des conditions aux limites linéairessur l’équation de Boltzmann et le système de Vlasov-Poisson. Les démonstrations utilisent desthéorèmes de trace du type de ceux introduits par l’auteur pour les équations de Vlasov, desrésultats d’Analyse Fonctionnelle sur les convergences faible-faible (la convergence renormaliséeet la convergence au sens du biting Lemma), ainsi que l’information de Darroès-Guiraud d’unemanière essentielle.
Abstract (EN)
We prove global stability results of DiPerna-Lions renormalized solutions for the initial boundary value problem associated to some kinetic equations, from which existence results classically follow. The (possibly nonlinear) boundary conditions are completely or partially diffuse, which includes the so-called Maxwell boundary conditions, and we prove that it is realized (it is not only a boundary inequality condition as it has been established in previous works). We are able to deal with Boltzmann, Vlasov-Poisson and Fokker-Planck type models. The proofs use some trace theorems of the kind previously introduced by the author for the Vlasov equations, new results concerning weak-weak convergence (the renormalized convergence and the biting L1-weak convergence), as well as the Darrozès-Guiraud information in a crucial way.
Subjects / Keywords
Maxwell or diffuse reflection; Vlasov-Poisson; Boltzmann and Fokker-Planck equations; nonlinear gas-surface reflection laws; trace Theorems; Darrozès-Guiraud information; renormalized convergence; Dunford-Pettis Lemma; biting Lemma

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