Abstract (FR)

Dans la littérature, un problème de cible stochastique est souvent étudié en utilisant des arguments de dualité qui permet de se ramener à un problème écrit sous une forme standard de contrôle stochastique, voir par exemple Cvitanic et Karatzas (1993), Föllmer et Kramkov (1997), et, Karatzas et Shreve (1997). Cependant, cette approche ne requiert pas seulement la preuve d’une formulation duale, mais aussi ne s’appliquent qu’aux dynamiques linéaires. Afin d’éviter ces difficultés, on se base sur les étapes introduites par Soner et Touzi (2002), qui ont proposé un nouveau principe de la programmation dynamique, appelé géométrique. Cela ouvre les portes pour un nombre vaste d’applications, notamment pour le contrôle des risques en finance et assurance. Dans un cadre markovien, il permet de dériver les équations aux dérivées partielles associées au problème de cible stochastique de la manière plus directe,à l’exception de la formulation standard de dualité. L’objectif principal de cette thèse est d’étendre leurs résultats à des applications importantes dans le contrôle des risques en finance et en assurance. En particulier, dans la première partie, nous proposons une extension du principe de la programmation dynamique géométrique, qui est associée à une option barrière de type américain avec contraintes. Les différences principales proviennent du fait que nous n’imposons pas l’hypothèse de non-dégénérescence sur les coefficients des actifs financiers sous-jacents. Cette hypothèse apparaissent dans les marchés financiers complets et est aussi nécessaire à la formulation de dualité. Nous prenons cette occasion pour expliquer comment ce problème peut être traité et être transposé à l’option américaine sans barrière. Nous étudions également une classe de problèmes de cible stochastique avec multiples contraintes au sens de la probabilité dans la deuxième partie. En pratique, cet ensemble de contraintes doit être considéré comme une description sommaire d’une distribution ciblée de P&L. Ceci caractérise le prix de sur-réplication sur une forme de P&L comme une unique solution de viscosité d’une équation aux dérivées partielles. Dans cette thèse, on étudie des telles équations dans le cadre de marchés complets pour deux cas suivants. Au premier cas, le montant d’argent investi dans les actifs risqués est non borné, voir l’exemple d’une option d’achat dans le modèle de Black-Scholes dans Föllmer and Leukert (1999). Au second cas, les stratégies financières appartient à l’ensemble de processus progressivement mesurable prenant des valeurs dans un sous-ensemble compact U. Finalement, nous considérons une version faible du principe classique de la programmation dynamique introduite par Bouchard et Touzi (2009) et l’appliquons à une nouvelle classe de problèmes de contrôle stochastique associées à des diffusions mixtes. En laquelle le processus contrôlé est défini comme la solution d’une équation différentielle stochastique, qui est rejetée à la frontière d’un domaine borné O. La direction de réflexion oblique est contrôlée par un processus prévisible qui peut avoir des sauts.